Как вычисляются напряжения?

Откуда берутся напряжения? Проводя расчёты при помощи ANSYS, действительно ли вы понимаете, откуда и как программа вычисляет величины и контуры напряжений, по которым можно судить о прочности конструкции?

Когда мы запускаем статический конечно-элементный расчёт, программа решает систему уравнений вида:

Имея приложенные нагрузки, программа, реализующая метод конечных элементов, вычисляет перемещения в узлах. Теперь, зная перемещения узлов, необходимо вычислить напряжения. Для того чтобы понять как это сделать, нужно разобраться как составляется матрица жёсткости. Матрица жёсткости составляется путём компоновки матриц жёсткости каждого элемента. Матрицы жёсткости каждого элемента вычисляется исходя из принципа виртуальной работы. Проще говоря, принцип виртуальной работы говорит, что виртуальное (очень малое) изменение внутренней энергии деформации компенсируются работой внешних сил. Изменение энергии деформации по объёму можно записать в виде:

Можно заменить напряжение выражением, содержащим деформацию:

где [D] – матрица, связывающая напряжения и деформации.

Далее деформации можно заменить выражением, содержащим перемещение:

Матрица, связывающая деформации с перемещениями, вычисляется из функции формы элементов. Функция формы элемента определяет, как изменяются перемещения внутри элемента.  

Интеграл решается численно в определённых точках элемента. Эти точки называются точками интегрирования или гауссовыми точками (integration points или Gauss points).

Рисунок 1 – Расположение точек интегрирования в четырёхугольных элементах

Теперь вернёмся к вычислению напряжений из узловых перемещений. Деформации вычисляются  из узловых перемещений при помощи матрицы [B] перемещений-деформаций. Далее напряжения вычисляются на основе деформаций при помощи матрицы [D] деформаций-напряжений. Вычисление обеих этих матриц производится только в точках интегрирования, поэтому и деформации с напряжениями вычисляются тоже в точках интегрирования.

Однако чаще всего нас интересуют напряжения в узлах модели. В этом случае есть два варианта: можно просто скопировать напряжения из точек интегрирования в ближайшие узлы, а можно провести экстраполяцию напряжений из точек интегрирования при помощи функции экстраполяции. Помните, что напряжения в материале вычисляются в точках интегрирования. Пластичность, ползучесть также вычисляются на основе напряжений в точках интегрирования. Поэтому в задачах с пластичностью можно увидеть напряжение, превышающее предел текучести, но без пластических деформаций.

Представьте случай, когда напряжение в точках интегрирования равно 99% от предела текучести. Пока оно ниже предела текучести, пластические деформации не вычисляются. Теперь если провести экстраполяцию напряжений из точек интегрирования в узлы, может получиться, что они превышают предел текучести (напряжения могут стать, к примеру, 101% от предела текучести). Таким образом, получается, что напряжения уже превысили предел текучести, но пластики ещё нет. Это является сигналом о том, что сетка конечных элементов слишком грубая.

Следующее о чём стоит упомянуть, это то, что когда мы просматриваем напряжения в узлах, мы видим усреднённые величины. Это означает, что для каждого элемента, относящегося к узлу, напряжение вычисляется в точках интегрирования, а затем экстраполируется (или копируется) в узлы. Поэтому величина узлового напряжения – средняя величина соседних элементов с общими узлами.

Рисунок 2 – Осреднённое напряжение в узле

Чем мельче сетка, тем разница между величинами, полученными в соседних элементах, становится меньше. Таким образом, различие между осреднёнными и неосреднёнными напряжениями в узлах является одним из критериев плотности сетки.

При просмотре результатов обычно такие различия незаметны и не сказываются на принятии того или иного инженерного решения. Однако иногда эффекты, связанные с экстраполяцией, могут привести в замешательство. После прочтения этой статьи, с вами такого уже не произойдёт.

Информация взята с сайта http://www.caeai.com/