Действительно ли элементы плохой формы влияют на решение в ANSYS Mechanical?

Не так давно мой коллега cделал пост “О методах контроля качества сетки”, в котором рассматривается вопрос о плотности сетки и то, как она влияет на точность решения в методе конечных элементов (МКЭ). Также там упоминается, что тип и форма элемента тоже оказывают определенное влияние. И сейчас, в этом посте-продолжении, мы поговорим именно о формах элементов: особенно о том, что называется элементами плохой формы и их влиянии на точность решения.

Множество расчетчиков в МКЭ слишком озабочены другими не менее важными аспектами препроцессинга, и не проверяют форму элементов - разве что работает автоматическая проверка формы в их инструменте по созданию сетки. Такая расслабленность вполне может привести к ошибке, поскольку элементы плохой формы часто вызывают проблемы сходимости в нелинейных задачах и могут давать неточные результаты, особенно если они находятся в критических областях модели (например, область концентрации напряжений). 

Для проверки качества элементов в ANSYS есть несколько метрик (metrics).  Среди них Jacobian ratio, aspect ratio, corner angle, mid-side node position, parallel deviation, warping factor, и общее качество quality.  Во всех случаях, они призваны измерить и охарактеризовать способность элемента переносить данные между пространством элемента (численным пространством) и реальным, физическим пространством. Этот шаг является особенно важным в МКЭ. Некоторые из этих метрик показаны на рисунке 1. Элемент идеальной формы – это элемент с углом 90 градусов для четырехугольников и гекса элементов, и с углом 60 градусов для треугольников и тетраэдров, причем не сильно вытянутый (aspect ratio).  Поверхности элементов также должны быть относительно плоскими, что измеряется метрикой warping factor.

Рисунок 1: Метрики качества сетки

Пакет ANSYS включает в себя автоматическую проверку формы элемента.  По умолчанию, он проверяет и Jacobian ratio и общее качество quality. Эти две метрики вместе являются исчерпывающими, поскольку учитывают расположение серединных узлов, skewness, warping, curvature, aspect ratio, и в конечном счете, способность элемента передавать данные. На рисунке 2 показаны формы 2D элементов с различным значением Jacobian ratio. Как можно видеть, большая кривизна, отклонение от прямой линии и большие значения углов приводят к большому Jacobian ratio. Метрика element quality используется ANSYS в качестве комплексной оценки качества формы и основана она на отношении объема элемента к сумме длин его сторон.  В 2D модели, значение 1 соответствует идеальному квадрату или треугольнику, в то время как ноль соответствует элементу с нулевой или отрицательной площадью.  Простой пример 2D четырехугольного элемента показан на рисунке 3.

Рисунок 2: Jacobian Ratio для различных форм 2D элементов

Рисунок 3: Element Quality для четырехугольника плохой формы

Это все, конечно, замечательно и очень интересно, скажете вы. Но насколько эти плохие элементы в действительности опасны для результатов?  Чтобы проиллюстрировать это обратимся к 2D модели в плоском напряженном состоянии из поста про плотность сетки.  В этой модели (Рисунок 4), 2D кронштейн закреплен с верхнего конца и подвергается воздействию сдвиговой нагрузки на грани с нижнего конца.  Максимальные напряжения по Мизесу сошлись на величине в 101.7 МПа при высокой плотности сетки и высоком качестве формы элементов в критической зоне, как показано на рисунке 4.  Будем использовать это значение напряжения как опорное.

Рисунок 4: Сетка высокого качества с опорными результатами

На рисунке 5 показана сетка, используемая в текущем примере.  Эта сетка грубее, чем та, что была использована в посте про плотность, но достаточно подробна, чтобы получать напряжения в пределах 1.5% от опорной величины с элементами хорошей формы.  Также были созданы несколько сеток с различным качеством формы элементов. Сетки с элементами наиболее плохой и наиболее хорошей формы в критической зоне показаны в правом верхнем углу рисунка 5.  Сравнение максимума узловых результатов осредненных (averaged) и не осредненных (unaveraged) напряжений для этих сеток представлено в таблице 1.  Обратите внимание, что максимальное значение напряжения варьируется от опорного на 0.75% при Jacobian ratio в 3.75, на 2.4% при 29.4, и на 8.1% при 34. Последнее значение соответствует сетке с сильно перекошенными элементами, показанной в правом верхнем углу на рисунке 5. В таблице 1 также показано, что различие между не осреднённым напряжением (unaveraged stress) и принятым за опорное значительно больше для сеток с перекошенными элементами. 

Рисунок 5: 2D модель кронштейна

Эта задача, конечно, не является комплексной или тем более универсальной проверкой влияния элементов плохой формы на точность решения, но служит хорошим примером и иллюстрацией этого эффекта.  Важно помнить, что влияние формы элементов на результаты крайне трудно предсказать, т.к. есть и множество других факторов, влияющих на их точность. Среди прочего это плотность сетки, выбор типа элементов, постановка задачи (линейная или нелинейная), а также точность входных данных, например, нагрузок, опор, и свойств материалов. Таким образом, итоговая ошибка едва ли может быть вызвана одной лишь только формой элементов.

ANSYS автоматически проверяет Jacobian ratio и element quality, и всегда предупредит, если эти величины превысят установленные предельные значения.  Однако, никогда не повредит лишний раз проверить наличие таких ошибок самостоятельно, особенно величину Jacobian ratio, которая напрямую указывает на способность сетки передавать данные из пространства элементов в реальное.  Как показано на примере с кронштейном, элементы плохой формы в тех областях модели, где точность результатов важна, критичны и крайне нежелательны, т.к. могут вызвать значительные искажения, на основе которых потом могут быть приняты ошибочные решения по рассматриваемому проекту. 

Был ли у вас опыт работы с элементами плохой формы?  Вызывали ли они у вас проблемы? Как вы их находили и каким образом исправляли эту проблему? Обязательно поделитесь с нами опытом в комментариях, а также не стесняйтесь задавать вопросы там же или на нашем форуме.
 

Информация взята с сайта https://caeai.com