Механика Transient Blade Row методов и практические аспекты применения.

Механика Transient Blade Row методов и практические аспекты применения.

О том случае, когда Mixing Plane и Frozen Rotor уже недостаточно точны.

 

Мотивация

Движение ротора относительно статора в турбомашинах определяет нестационарное взаимодействие между ними. Варианты взаимодействия обычно классифицируются следующим образом:

‐Потенциальное взаимодействие – нестационарность потока, причиной которой являются волны давления, которые распространяются вверх и вниз по потоку;

‐Взаимодействие спутных следов - нестационарность потока из-за следов от верхстоящего венца лопаток, которая продвигается вниз по потоку;

‐Взаимодействие скачков уплотнений – для сверх/трансзвуковых ступеней нестационарность из-за скачков уплотнения, которые воздействуют на лопаточный венец вниз по потоку.

 

Рисунок 1. Нестационарное взаимодействие венцов лопаток

 

Как Frozen Rotor, так и Mixing Plane интерфейсы полностью нивелируют/сглаживают нестационарное взаимодействие и поэтому позволяют точно рассчитывать только те течения, в которых эти эффекты незначительны. В случае если нестационарное взаимодействие не может не быть учтено, необходимо применять один из нестационарных подходов расчета:

1. Расчет лопаточных венцов со всеми лопатками (360°);
2. Применять методы нестационарного расчета (один/два межлопаточных канала).

Первый вариант является очень невыгодным с точки зрения сеточной модели и соответствующих вычислительных затрат. Для того чтобы моделировать нестационарное взаимодействие между венцами и не строить при этом все межлопаточные каналы, в ANSYS CFX используются методы, обобщенно называющиеся Transient Blade Row (TBR).  Данные методы позволяют рассчитать взаимодействие между доменами, имеющими разные углы раскрытия (или по-другому: разный шаг решетки). Речь сегодня о них, а также о некоторых практических аспектах их применения.

Для получения итогового стационарно-периодического решения традиционно используются методы решения во временном пространстве (методы Time marching). Данные методы (во временном пространстве) требуют моделирования нескольких периодов прохождения рабочей лопатки, прежде чем решение станет устойчиво-периодическим. Для более быстрого получения устойчиво-периодического решения есть возможность рассчитывать течение в частотной области с использованием метода Harmonic Analysis (HA). Таким образом у предлагаемых далее методов (двух из трех) есть возможность выбора в какой области будет проводится расчет: временной или частотной.

 

Первый метод: Profile Transformation (PT).

PT метод преодолевает проблему неравного окружного шага в интерфейсе с помощью преобразования профиля течения. Преобразование является консервативным масштабированием профиля (Рисунок 2). Масштабирование проводится согласно величине pitch ratio, которая равняется отношению угловых размеров. Обрабатывается данный интерфейс точно также как GGI и MRF, за счет чего достигается консервативность и быстрота работы.

Рисунок 2. Принцип работы PT интерфейса

 

Данный метод может «соединить» два межлопаточных канала с большим отношением угловых размеров, но, чтобы получить точные результаты, необходимо, чтобы отношение угловых размеров доменов (pitch ratio) стремилось к единице. Это может быть достигнуто с помощью использования нескольких межлопаточных каналов в венце.

 

Рисунок 3. Подбор количества лопаток, для выполнения требования pitch ratio≈1.

 

Как видно из рисунка 2, недостатком метода является неверная передача частоты взаимодействия. Для примера разберем гипотетическую ситуацию, когда имеется 36 лопаток в статоре и 42 в роторе. На роторные лопатки «попадет» не 36 спутных следов, а 42 так как профиль скорости за статором сузится до соответствующего углового размера. Это видно на рисунке 2.

Но несмотря на данный недостаток, данный метод позволяет с минимальными вычислительными затратами получить результаты, которые согласуются с экспериментом лучше, чем стационарный расчет.

Еще одна особенность данного метода: на периодических границах не происходит операции смещения фазы.

 

Следующие два метода для периодических границ используют другой алгоритм, учитывающий сдвиг фаз.

Когда считается стационарная задача или в нестационарной постановке угловой размер доменов одинаковый, на их периодических границах организуется следующее простое условие, которое гласит, что в один и тот же момент времени на периодических границах параметры течения одинаковые.

где, U- это рассчитываемый параметр потока (скорость, давление и т.д.);

r,θ,z- координаты в цилиндрической СК;

t-время;

P-угловой размер домена (шаг решетки в градусах).

Когда в нестационарной постановке имеется отличие в угловых размерах доменов (что чаще всего имеем на практике), это условие меняется.

Методы Time Transformation и Fourier Transformation достигают «сдвинутого по фазе» состояния периодических границ, за счет разных подходов.

Основной принцип сдвинутого по фазе периодического условия состоит в том, что периодические границы R₁/R₂ и S₁/S₂ являются периодическими по отношению друг к другу в разные моменты времени.

 

Второй метод: Time Transformation (TT).

Метод Time Transformation обходит проблему неравенства угловых размеров доменов с помощью трансформации временных координат ротора и статора в окружном направлении, чтобы сделать модели полностью периодичными в «трансформированном» времени.  

Этот подход опирается на работу Michael B. Giles [2].

Рассмотрим случай ротор/статор взаимодействия (Рисунок 4), когда ротор имеет меньший угловой размер. В таком случае спутный след за сопловым аппаратом (продвигащийся вниз во вращающейся системе координат ротора) пересекает угол входной границы/вернхней периодической границы спустя небольшой отрезок времени ΔT после того, как соседний спутный след пересечет угол входной границы/нижней периодической граница. Отставание по времени определяется через угловые размеры доменов и скорость вращения:

 

Рисунок 4. Сопоставление решетки соплового аппарата и рабочего колеса. Здесь движение статорного венца происходит в системе координат рабочего колеса [2]

 

Таким образом граничное условие на входе удовлетворяет следующему смещенному периодичному условию (периодичному в смысле повторяющемуся, а не в смысле расположенному на периодических границах):

Следующий шаг - это приложение данного смещенного периодичного условия к верхней и нижней периодической границе. Прямо говоря, это является допущением о природе течения, возникающего при взаимодействии ротора и спутного следа.

Существует много примеров в математике, когда периодические члены дают решение с субгармонической составляющей, период которой кратен исходному периоду.

Для примера рассмотрим вихревое течение за лопатками турбины. Наложение пространственно-периодичных граничных условий вынуждает решение «показывать» синхронное вихреобразование, когда каждая лопатка сбрасывает вихри одного и того же знака (направления) одновременно. Однако в реальности может возникать ситуация, когда соседние лопатки отбрасывают вихри противоположных знаков. Такая ситуация была бы примером пространственной субгармоники периода 2P_r(субгармонические колебания- колебания, происходящие с большими частотами нацело кратными основной). Математическое пространственно-периодическое решение будет правильным решением уравнений газодинамики, но будет иметь линейную субгармоническую неустойчивость, которая перерастает в полностью нелинейное, субгармоническое вихреобразование. В таком случае, чтобы получить истинное решение необходимо проводить расчет с вычислительным доменом, состоящим из двух межлопаточных каналов.

Еще одно преимущество данного подхода состоит в том, что в уравнениях не предполагается, что поток является периодическим во времени. В то время как ранее предлагаемые подходы накладывали данное ограничение, что вводило дополнительное ограничение на валидацию метода.

Численно очень просто наложить пространственную периодичность для стационарного течения, как мы увидели ранее. Для нестационарного расчета необходимо вводить небольшое допущение. Это нас приводит к следующей идее: предположим, что ход времени в расчете имеет наклон, относительно физического времени, таким образом, что если узел при y = 0 находится во времени t, то соответствующий периодический узел y=P_r находится в момент времени t + ΔT, и, таким образом, в этой наклонной вычислительной плоскости имеется пространственная периодичность. Рисунок 5 иллюстрирует эту концепцию.

Рисунок 5. Концепция «наклоненного» вычислительного времени [2]

 

Математически это соответствует следующему преобразованию координат:  

Видно, что функции времени задается такой наклон, чтобы за промежуток времени t + ΔT, координата θ была равна координате θ'. Таким образом имеем измененную систему уравнений, которая сейчас является условием регулярной пространственной периодичности. Данная периодичность выполняется в любой момент времени в вычислительном домене.

Существует два важных последствия в работе с данной трансформированной системой координат по сравнению с обычной.

1.Уравнения в домене рассчитываются с временно-пространственной трансформацией (r',θ',z',t') и необходимо проводить обратную трансформацию в физический домен (r,θ,z,t)  перед постобработкой;

2.Ротор и статор рассчитываются с разными временными шагами.

 

Первая особенность в ANSYS CFX обрабатывается автоматически.

Более подробно рассмотрим вторую особенность.

А) Каждый межлопаточный канал имеет свой период. Период статора это:

Период ротора это:

Б) Период в каждом межлопаточном канале должен быть разделен на одно и то же количество временных шагов. Поэтому мы можем записать периоды следующим образом:

С) Объединив два равенства имеем, что временной шаг в вычислительном домене пропорционален угловому размеру домена.

Указанный при подготовке модели временной шаг используется для статорного канала, а для роторного ANSYS CFX  пересчитывает соответствующий шаг согласно вышеуказанной зависимости.

Когда решение преобразуется обратно в физическое время, отсчитанное в расчете время считается временем моделирования статора.

 

Ротор-статор взаимодействие в интерфейсе обрабатывается с помощью механизма масштабирования углового размера, который был уже представлен в методе Profile Transformation. Однако в то время как метод Profile Transformation в результате приводит к pitch ratio=1:1 с некорректной частотой взаимодействия из-за растяжения или сжатия профиля, метод Time Transformation рассчитывает корректную частоту, так как пропорционально этому масштабируется время.

Еще один способ наблюдать разницу во временных шагах это взглянуть на график хода времени от угловой координаты для доменов ротора и статора (Рисунок 6). Несмотря на то что в физическом пространстве угловой размер ротора меньше чем статора, в «наклоненном» вычислительном пространстве после времени t + ΔT их границы совпадают. Кроме того, если мы посмотрим на временной шаг ротора и статора, то увидим что они разные в отношении pitch ratio.

Рисунок 6. Визуализация концепции «наклоненной» шкалы времени[1]

 

Третий метод: Fourier Transformation (FT).

Метод Fourier Transformation производит смещение фазы граничных условий более прямым способом по сравнению с методом Time Transformation.

Суть метода заключается в том, что напрямую накладывается фазовое смещение переменных потока между периодическими границами R₁ и R₂, S₁ и S₂. Прямой метод был предложен Erdos 1977 [3], но его метод требовал хранения данных для полного периода на всех границах R₁/R₂ и S₁/S₂, включая интерфейс между ротором и статором. В методе FT временно используется разложение в ряд Фурье для того, чтобы избежать хранения данных на границах S₁/S₂and R₁/R₂. Идея предложена L.He 1990 [4].

Сигнал декомпозируется на гармоники основной частоты ω/2π каждого межлопаточного канала. Например, в стандартной задаче нестационарного взаимодействия ротора и статора этой основной частотой является инверсированный период прохождения лопаток.

Для других случаев применения период может быть рассчитан как:

-Для неравномерности на входе  ;

-Для расчета флаттера лопатки  .

 

По аналогии с Gerolymos [5] интерфейс ротор/статор далее может быть разложен в виде сигнала в тета-гармониках, что приводит к методу двойного (t-θ) ряда Фурье.

За счет декомпозиции сигнала на периодических границах во временной ряд Фурье и декомпозиции сигнала на ротор/статор интерфейсе в двойной ряд Фурье мы обладаем преимуществом в виде глубокого сжатия данных, используя периодическую природу потока. Поскольку в таком случае необходимо сохранить только коэффициенты Фурье A_m и A_n,m, чтобы реконструировать поток в любой момент времени и в любом угловом положении как только будет достигнут режим периодичной нестационарности.

В ANSYS CFX метод Fourier Transformation реализован с помощью сдвоенного межлопаточного канала. Данные накапливаются на интерфейсе между двумя межлопаточными каналами (Рисунок 7).

Рисунок 7. Сдвоенный межлопаточный канал в методе Fourier Transformation

Данный подход имеет лучшую сходимость по сравнению с подходом с одним межлопаточным каналом. (Данные Фурье накапливаются на внутреннем интерфейсе, где решение является полностью неявным и отдаленным от действительных периодических границ). Подход Fourier Transformation с двумя каналами сходится в квази-периодическое состояние очень быстро- требуется всего 3-4 цикла.

 

Гармонический анализ

Решение нестационарного периодического течения может быть получено быстрее с использованием frequency-based метода, то есть частотного метода решения.

Гармонический анализ (Harmonic Analysis- HA) в ANSYS CFX основан на методе гармонического баланса (Harmonic Balance - HB) и спектральном методе времени (Time Spectral Method- TSM) [6,7], которые реализованы в рамках решателя по давлению. В этом методе изменение нестационарного течения представляется рядом Фурье для заданной основной частоты ω. Согласно этому приближению в ряде Фурье сохраняется M гармоник (также можете встретить: harmonics, мода, mode). Нестационарный период делится поровну на N=(2M+1) уровней по времени, на которых производная по времени рассчитывается с использованием спектрального приближения, а система нелинейных уравнений, связывающая все N уровни времени, решается итеративно.

Например, если сохраняется одна гармоника (M=1), то требуется 3 временных уровня (N=3). Если сохраняются 3 гармоники (M=3), то требуется 5 временных уровней (N=5). Подход в псевдо-временной области, аналогичный обычному стационарному расчету, используется для решения N связанных по времени уравнений.

Как правило, сложные нестационарные течения, содержащие резкие градиенты, требуют сохранения большего количества гармоник для разрешения интересующих явлений, в то время как более простые равномерные потоки требуют меньшего числа гармоник.

Типичные задачи решаются с использованием числа мод M =1, 3 или 5. Чем меньше число сохраняемых гармоник, тем более эффективен метод гармонического анализа по отношению к обычному подходу во времени.

Поэтому важно использовать наименьшее количество гармоник, при которых точность решения приемлема.

На эффективность расчета также влияет размер указанного псевдо-временного шага. Как правило, размер шага по времени определяется как период нестационарности, деленный на предполагаемое количество шагов.

Большое количество псевдо-временных шагов за период (то есть небольшой размер временного шага) заставляет решение медленно и неэффективно сходиться по сравнению с обычным методом во временной области. Меньшее количество псевдо-временных шагов за период (то есть большой размер временного шага) позволяет быстрее достигнуть сошедшегося решения и является более привлекательным выбором, но может вызывать проблемы сходимости. Определено, что от 15 до 30 псевдо-временных шагов за период обычно является хорошим компромиссом между скоростью и стабильностью решения.

 

Практика использования TBR

Кратко рассмотрим задачи, которые могут быть решены с помощью перечисленных методов.

 

1.Стандартная задача ротор/статор взаимодействия:

Может быть решена в любой из 5 постановок (PT, TT, FT, PT+HA, FT+HA).

 

2.Неравномерность течения на входе/выходе:

Данная методика является первым приближением для оценки внешнего возмущения без его моделирования в рамках задачи. Устанавливается профиль течения на входной/выходной границе. Внешнее возмущение может быть смоделировано стационарным или вращающимся, одиночным или групповым.

Задача может быть решена в постановке (TT, FT, FT+HA).

 

3. Моделирование сопряженного теплообмена (CHT-постановка):

Задача аналогична стандартной постановке с той разницей, что присутствует сеточные области твердых конструктивных элементов. В данном случае нужно не забыть задать им соответствующую скорость вращения и интерфейс твердое тело-воздух.

 

4. Моделирование флаттера:

Пользователем задается закон колебания лопатки на основании предварительного расчета в модуле прочности. Результатом расчета является ответ на вопрос: «Будет ли лопатка входить во флаттер с учетом аэродинамического демпфирования?». На основании рассчитанного поля давления и модальных перемещений в задаче определяется работа, совершенная лопаткой за один цикл. На основании этих данных определяется коэффициент аэродинамического демпфирования.

 

 

5. Расчет силового отклика (Forced Response Analysis):

Также, как и расчет флаттера данный метод разработан для замены затратному с точки зрения вычислений двустороннему FSI.

Пользователем задаются нестационарные возбуждающие силы из газодинамического расчета, а также аэродинамическая составляющая матрицы демпфирования на основании моделирования флаттера. Результатом данного расчета является определение деформаций и напряжений в лопатке, а также момент разрушения конструкции.

 

6. Многоступенчатая постановка:

В случае необходимости учета нестационарного взаимодействия в многоступенчатой постановке существует возможность комбинирования различных подходов к моделированию. Так в одной задаче могут быть одновременно применены методы TT, PT, интерфейс Mixing Plane, а также одностороння разновидность TT интерфейса (в этом случае взаимодействие в обратную сторону обрабатывается алгоритмом PT).

 

7. Задача ротор/статор взаимодействия с осесимметричным течением:

Постановка Fourier Transformation позволяет освоить ряд задач, в которых лопаточный венец соединяется с доменом 360°.

В таком случае домен 360° не будет иметь интерфейса, накапливающего сигнал. А лопаточный венец должен иметь два межлопаточных канала, что в случае малого количества лопаток в полном венце (3-4 лопатки на 360°) даст небольшое преимущество по сравнению с полноразмерной нестационарной постановкой.

 

 

Сравнение TBR методов.

Литература

1. ANSYS Help. CFX-Theory Guide
2. Giles, M. “Calculation of Unsteady Wake/Rotor Interaction” J. Propulsion, 1988
3. Erdos, J.A. “Numerical Solution of Periodic Transonic Flow through a Fan Stage” AIAA Journal, 1977
4. He, L. “An Euler Solution for Unsteady Flows Around Oscillating Blades” Transactions of the ASME, 1990
5. Gerolymos G.A. “Analysis and Application of Chorochronic Periodicity in Turbomachinery Rotor/Stator Interaction Computations” Journal of Propulsion and Power, 2002.
6. Hall K. C., Thomas J. P., and Clark W. S. “Computation of unsteady nonlinear flows in cascades using a harmonic balance technique” AIAA Journal, 40 (5), 879-886, 2002.
7. Gopinath A. and Jameson A. “Time Spectral Method for Periodic Unsteady Computations over Two and Three- Dimensional Bodies” 43rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, AIAA Paper 2005-1220, Reno (USA), 2005.
8. Marc Kainz- Transient Blade Row Lecture