Нелинейный анализ потери устойчивости

Одной из проблем, с которой сталкиваются при разработке множества конструкций, является потеря устойчивости, сопровождающаяся внезапным разрушением при незначительном увеличении нагрузки. Продукты ANSYS предоставляют все необходимые инструменты, помогающие пользователям разрешать проблемы геометрической нестабильности, начиная от линейной потери устойчивости до нелинейного анализа закритического поведения.

Линейный анализ потери устойчивости как предварительный этап

Подобно динамическому анализу, где модальный анализ является первым шагом для понимания вибрационных характеристик конструкции, необходимо всегда выполнять линейный анализ, перед проведением нелинейного анализа потери устойчивости.

Модуль ANSYS «Eigenvalue Buckling» обеспечивает «классическое» решение задачи на собственные числа. Хотя критическая нагрузка, определяемая в этом анализе, является неконсервативной, линейный анализ имеет немаловажное значение по следующим причинам:

• Линейный анализ предоставляет пользователю оценку критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости. Хотя полученное значение может быть завышено, оно обеспечивает понимание того, какие нагрузки необходимо задать в нелинейном расчете.
• Линейный анализ помогает определить формы потери устойчивости, т.е. возможность существования более одного режима потери устойчивости.
• Форма потери устойчивости из линейного анализа может быть использована для создания «дефектов» в нелинейном анализе.
• Время решения линейного анализа намного меньше, чем нелинейного, что позволяет получить много важной информации без высоких вычислительных затрат.

Возможности Ansys Workbench позволяют пользователям без труда провести линейный анализ потери устойчивости. Во-первых, потребуется настроить статический прочностной расчет, задав необходимые граничные условия и нагрузки в модуле «Static Structural». Затем добавляется модуль «Eigenvalue Buckling», таким образом, чтобы статический расчет являлся начальным условием для расчета на устойчивость, из него будут взяты граничные условия, нагрузки и напряженное состояние. В ветке «Analysis Settings» пользователь может запросить любое количество форм потери устойчивости – хотя обычно достаточно первой, рекомендуется указать 3 или более, чтобы проверить возможность реализации нескольких режимов потери устойчивости. После решения можно рассмотреть форму потери устойчивости и множитель нагрузки – значение, позволяющее оценить величину критической нагрузки.

Как следует из названия, линейный анализ потери устойчивости не учитывает нелинейности. Соответственно все контакты и свойства материалов считаются линейными, и также не учитываются эффекты больших перемещений (хотя все нелинейные эффекты могут быть включены в предварительном прочностном анализе) – всё это факторы, делающие полученный множитель нагрузки неконсервативным. Кроме того, множитель распространяется на все приложенные нагрузки, поэтому, если заданы как постоянные (к примеру, гравитация), так и переменные нагрузки (внешние силы и т.д.), пользователь будет вынужден итеративно регулировать переменную нагрузку до тех пор, пока множитель не приблизится к 1,0. В конечном итоге, результаты нелинейного анализа, как правило, представляют наибольший интерес для пользователя, позволяя напрямую учитывать любые типы нелинейностей, после выполнения предварительного линейного исследования.

Нелинейный анализ потери устойчивости

Трудность, связанная с анализом нелинейной потери устойчивости, заключается в том, что при проведении статического решения, в точке геометрической нестабильности, матрица жесткости может быть сингулярной (т.е. наклон на графике сила-перемещение будет нулевой), что делает невозможным получение решения. В ANSYS есть несколько способов разрешения проблем потери устойчивости, включая анализ закритического поведения. Если пользователь заинтересован только в определении критической нагрузки и не заинтересован в получении отклика после потери устойчивости, может быть использован обычный нелинейный прочностной анализ.

Для решения этой задачи достаточно продублировать модуль «Static Structural» в интерфейсе Workbench, используемый для линейного анализа потери устойчивости, и затем скорректировать величины нагрузок путем умножения их на критический коэффициент, определённый в линейном расчете потери устойчивости. В ветви «Analysis Settings» следует активировать эффект больших перемещений и вручную указать подшаги: начальное и минимальное значение может быть небольшим, к примеру, от 10 до 100 в зависимости от предпочтений, а максимальное количество подшагов должно быть установлено на высокое значение, такое как 1e5 или 1e6. Также можно учесть и другие источники нелинейностей: контакт и нелинейное поведение материала.

При запуске решателя, вблизи точки геометрической нестабильности, ANSYS будет делить подшаг пополам до тех пор, пока не будет достигнуто максимальное количество подшагов, и решение не разойдется. Причина, по которой используется такое большое максимальное число подшагов, заключается в том, что впоследствии, используя функцию «New Chart», можно построить график зависимости перемещения от приложенной силы, чтобы убедиться, что расхождение вызвано геометрической нестабильностью (т.е. нулевым наклоном графика сила-перемещение), как показано на графике ниже. Исходя из этой информации, возможно определение критической нагрузки, приводящей к потере устойчивости.

Учет начальных дефектов

Если исходная геометрия симметричная, даже нелинейный анализ потери устойчивости может показать слишком высокую критическую нагрузку. Рассмотрим простую пластину, на одном конце которой действует сжимающая нагрузка (A) с ограничением некоторых перемещений (С), а на другом конце задано шарнирное закрепление (В), как показано на рисунке ниже. Хотя должна произойти потеря устойчивости, приводящая к изгибу пластины, но если геометрия смоделирована без дефектов, то этого не произойдёт.

Для решения такой задачи можно использовать форму потери устойчивости, полученную из линейного анализа, с целью создания небольшого дефекта или начального возмущения (альтернативные методы заключаются в применении небольших точечных нагрузок в определенных областях, чтобы вызвать начальный изгиб). Данная стратегия является более предпочтительной, исходя из предположения о том, что рассчитываемая конструкция будет наиболее чувствительна именно к форме потери устойчивости. Начиная с версии 17.0 эта опция включена в возможности ANSYS Workbench, позволяя передавать форму потери устойчивости в качестве исходной геометрии для статического прочностного анализа. Для этого достаточно перетащить ячейку решения модуля «Eigenvalue Buckling» на ячейку «Model» модуля «Static Structural» как показано на рисунке, и также следует соединить ячейки «Engineering Data» для передачи свойств материалов.

Для импорта деформируемой геометрии можно указать несколько настроек в окне свойств -  импортируемую форму потери устойчивости (как правило это первая), а также коэффициент масштабирования, позволяющий регулировать максимальное начальное отклонение.

Обратите внимание, что при добавлении начального дефекта критическая нагрузка может несколько снизится, что в целом отражает реальное физическое поведение конструкции. Величину несовершенства можно определить, например, используя информацию о производственных допусках или данные измерений, таким образом пользователь может задать ожидаемое значение начального отклонения, соответствующее реальной конструкции.

Далее, во втором статическом анализе, необходимо задать те же граничные условия, нагрузки при этом, могут быть равными критическому значению - F*Load Multiplier, дальнейшее увеличение нагрузок покажет поведение после потери устойчивости. Также, для этого анализа необходимо включить эффект больших перемещений.

Упомянутая выше пластина была рассчитана с учетом дефекта (на основе первой формы потери устойчивости) и без него, очевидно во втором случае никакой потери устойчивости не произошло. На диаграмме снизу представлены результаты расчета с дефектом - перемещения из плоскости пластины (по оси х). Для линейного анализа коэффициент критической нагрузки оказался равен 0.85, а нелинейный анализ, при учете небольшого несовершенства, показал возрастание перемещений несколько раньше этого значения.

Закритическое поведение конструкции

В некоторых ситуациях необходимо провести анализ разрушения, в том числе оценить поведение конструкции после потери устойчивости. Если нагружение задается перемещением, вычисление реакции после точки потери устойчивости обычно не является проблемой. Однако для случаев с заданием силы, нулевая жесткость привела бы к сингулярной матрице.

В таких ситуациях пользователи могут использовать квазистатический анализ, учитывая инерционные эффекты – путем использования нестационарного анализа (добавив некоторое демпфирование, чтобы снизить инерционные эффекты), что позволит перейти за критическую точку.

Другой способ называется метод длины дуги «Arc-length» (в ANSYS Mechanical доступен только через команды APDL). Для полного метода Ньютона-Рафсона, который является методом решения по умолчанию для нелинейных задач, приложенные нагрузки всегда увеличиваются постепенно, что вызывает проблемы в точке потери устойчивости. Напротив, метод длины дуги корректирует прикладываемую нагрузку на основе взаимосвязи между вычисленными приращениями перемещений и «радиусом» дуги, что позволяет, при необходимости, уменьшить прикладываемую нагрузку. В результате, это помогает захватить закритическое состояние после точки неустойчивости.

Альтернативный метод был введен в ANSYS начиная с версии 11.0, под названием нелинейная стабилизация. Концептуально, нелинейная стабилизация может рассматриваться как добавление искусственных демпферов ко всем узлам в системе. До того, как критическая нагрузка будет достигнута, система, как правило, будет иметь небольшие смещения в течение заданного временного шага - это можно рассматривать как низкая псевдоскорость. Низкая псевдоскорость не создаст большого сопротивления от искусственных демпферов. С другой стороны, когда происходит потеря устойчивости, большие перемещения возникают даже на небольшом временном шаге, в связи с чем псевдоскорость возрастает и искусственные демпферы будут создавать большое сопротивление.

Нелинейная стабилизация может быть задана либо путем ввода коэффициента затухания, либо коэффициента рассеивания энергии. Коэффициент рассеивания энергии обычно колеблется от 0 до 1, и его можно представить как отношение работы, выполняемой демпфирующими силами к потенциальной энергии. Когда этот метод используется, в выводе решателя «Solution Information», для справочных целей, будет указан эффективный коэффициент демпфирования:

*** DAMPING FACTOR FOR NONLINEAR STABILIZATION = 0.1840E-01

Из-за более легкой интерпретации коэффициента рассеивания энергии рекомендуется сначала использовать эту опцию (когда значение близко к 0, это соответствует меньшему затуханию).

Другие возможности управления нелинейной стабилизацией включают использование постоянных или снижающихся до нуля значений стабилизирующих сил в конце шага нагрузки, а также контроль момента активации нелинейной стабилизации. Также обратите внимание, что нелинейная стабилизация при необходимости может быть отключена или использована только на определенных шагах расчета, при помощи настройки в окне «Details», ветки «Analysis Settings».

В качестве примера приведена трубчатая система, нагруженная на сжатие, как показано на рисунке слева снизу. При активной нелинейной стабилизации было захвачено закритическое поведение конструкции, как показано на картинке справа снизу.

Заключение

В этой статье представлен обзор методов анализа линейной и нелинейной потери устойчивости, а также рассмотрена функция нелинейной стабилизации. Перечисленные возможности ANSYS позволяют оценить, как критическую нагрузку идеальной линейной упругой системы, так и нелинейное закритическое поведение конструкции.

Источник: Ansys.com

Автор: Sheldon Imaoka