О методах контроля качества сетки

Зачастую у инженеров, занимающихся конечно-элементными расчетами, возникают вопросы относительно качества построенной ими сетки. Генераторы сеток прошли несколько десятилетий непрерывного развития, чтобы к настоящему моменту минимально подготовленный пользователь мог создавать сетки с качеством, достаточным для получения адекватных результатов. Однако как действительно понять, хороша ли построенная сетка для данного анализа? Достаточно хорошими сетками можно считать такие сетки, расчеты на которых дают приемлемые по точности результаты. При этом полагается, что для создания расчетной модели использованы адекватные реальности входные данные. Плотность сетки или степень измельчения элементов является одним из важнейших параметров контроля точности решения (выбранные тип и форма элементов, несомненно, тоже важны). При отсутствии сингулярностей в модели (острых углов, нагрузок и закреплений, приложенных в точке и тд) более мелкая сетка даст боле точный результат. Тем не менее, большое количество число элементов в мелкой сетке потребует больших затрат в плане оперативной памяти вычислительной станции и расчетного времени. Особенно это актуально в типах анализов, где для сходимости требуется несколько итераций на шаге, таких как нелинейный анализ или анализ переходных процессов.
 
Одним из способов оценки качества вашей сетки (и модели в целом) может стать верификация результатов расчета с помощью экспериментальных данных или аналитических решений. К сожалению, они не всегда доступны пользователю, если и вообще существуют. Таким образом, в инженерной практике нашли применение другие методы оценки качества. В их числе последовательное измельчение сетки, а также интерполяция скачков в значениях результатов.
 
Основной и наиболее точный метод оценки качества сетки предлагает нам последовательное уменьшение размера элементов до тех пор, пока какой-нибудь значимый результат, такой как, например, максимальное напряжение в определенной зоне, не сойдется к некоторому значению (то есть с каждой итерацией изменение напряжения будет меньше заданного допуска). На рисунке 1 показан пример подобного исследования. За образец взята плоская модель кронштейна, закрепленного за верхний торец и нагруженного действующей вниз силой, приложенной к правому нижнему ребру. Зона концентрации напряжений, очевидно, оказывается в скруглении. График показывает зависимость максимального эквивалентного напряжения в концентраторе от количества конечных элементов на единицу площади кронштейна. Как видно, увеличение плотности сетки сначала ведет к резкому росту максимального напряжения, однако потом скорость увеличения сильно замедляется и в итоге кривая выходит на практически горизонтальную «полку», где большому приращению плотности сетки соответствует лишь малое изменение в максимальном напряжении. Начальной и конечной точками этого участка в данном случае можно считать точки с плотностью 1134 и 4483 элемента на единицу площади. При изменении плотности в четыре раза значение анализируемого результата выросло только на 1,5%.

Рисунок 1 – График изменения эквивалентного напряжения в концентраторе в зависимости от плотности сетки в модели

Основным недостатком описанного метода является необходимость несколько раз перестраивать сетку и перерешивать задачу. Для небольших моделей это может быть некритично, но если выполняется анализ большой сборки, то исследование сходимости может занять много времени. В этих случаях может быть реализован другой метод, заключающийся в оценке величины скачка напряжений между соседними элементами в зоне концентрации. В МКЭ напряжения в элементе вычисляются непосредственно в точках интегрирования (точки Гаусса) и экстраполируются в узлы на границах элементов. Обычно в итоге анализируют величины, полученные путем осреднения по узлам. Однако в действительности нужно помнить, что в каждом элементе вычисляются разные значения напряжений для общих с соседними элементами узлов как показано на рисунке 2. Величина скачка напряжения убывает с улучшением качества сетки. Таким образом этот метод также подходит для контроля за размером элементов.

Рисунок 2 – Пример скачка напряжения между соседними элементами

В продолжение темы можно обратиться к рисунку 3, на котором показана  относительная разница значений неосредненного напряжения в общих узлах смежных элементов. Эти проценты получены путем деления разницы между неосредненными напряжениями на осредненное значение в узле. Видно, что на более мелкой сетке справа разница гораздо меньше, чем на грубой слева. Это говорит о более высокой точности правого решения. Различие процентных величин также показывает степень потенциальной ошибки в результатах решения. Оценка ошибки может быть выполнена и с помощью других методов, однако все они также основываются на вычислении разницы значений характерных результатов в общих между соседними элементами узлах.

Рисунок 3 – Относительная разница напряжений в общих узлах смежных элементов
 
В заключение необходимо отметить, что в инженерной практике довольно распространено и считается приемлемым допускать наличие больших относительных скачков напряжений в удаленных от зон концентрации частях модели. Это обычно случается потому, что на этих частях построена грубая сетка, и иногда еще из-за того, что в таких местах попадаются точки сингулярности. Тем не менее, степень точности получаемого в таких областях результата определяется расчетчиком. И уже он отвечает за оценку качества сетки и, соответственно, за его увеличение.
Таким образом, качество сетки играет важнейшую роль в получении точных результатов во всей рассчитываемой модели, влияя на конструкторские решения и выводы о работоспособности данной конструкции.
 
Информация взята с сайта https://caeai.com