Однородное внешнее магнитное поле в Maxwell 2D/3D

Существует несколько способов создания магнитного поля в Maxwell.  Поскольку ANSYS Maxwell является полевым решателем методом конечных элементов, поля могут вычисляться либо из источников (токов или постоянных магнитов), либо граничных условий (неявные граничные условия - материалы или явные граничные условия - симметрия или внешние поля). В этой статье описано, как задавать стационарное (DC) внешнее магнитное поле как в 2D, так и в 3D, и в каких условиях оно может быть действительным.

Перечисленное справедливо и для переменных полей (AC) гармонического решателя Eddy Current, но в этом случае исходные данные для задания поля несколько сложнее, так как все значения представлены в комплексном виде (phase). Тем не менее, однородное поле задаётся относительно легко по сравнению с заданием неоднородного поля, где исходные данные поля значительно более сложные. 

Использование / неправильное использование граничных условий, описанных в этой статье, потенциально может создать нефизические настройки (граничные условия могут нарушать Закон Ампера или закон нулевой дивергенции). Любое неправильное использование этих граничных условий может создать нефизическое решение, а также неблагоприятно отразится на процессе сходимости. Используйте рекомендации и инструкции этой статьи для безопасного использования граничных условий.

ANSYS Maxwell 3D

В 3D есть два вида граничных условия, которые мы будем использовать для задания однородного, внешне-приложенного магнитного поля - Tangential H Field и Zero Tangential H Field. Граничные условия могут быть назначены на плоские грани геометрического объекта. Можно представить себе эти две границы, как определяющие силу и направление поля, где ГУ Tangential H Field должно быть назначено на границах, к которым поле параллельно, а Zero Tangential H Field назначается на две крайние грани, к которым однородное поле должно быть перпендикулярным.

Однородное магнитное поле

Граничное условие Zero Tangential H Field

Для того, чтобы создать однородное поле в направлении оси Y, как на рисунке сверху, необходимо назначить граничные условия Zero Tangential H Field на грани, лежащие перпендикулярно оси +/- Y. Такое назначение определяет, что магнитный поток будет входить и покидать домен через эти грани, и поэтому поле будут расположено по-нормали к этим поверхностям.

Следующим шагом будет назначение напряженности поля на боковых гранях. Граничное условие Tangential H Field назначается по одному разу для каждой грани. В примере используется задание ГУ на грани куба, для которого должно получится четыре отдельных назначений границ. Выберите грань с нормалью в направление +Z и назначьте ГУ Tangential H Field. Меню содержит поля для ввода параметров U, V и инструменты назначения системы координат (имя границы произвольное). Задание системы координат является простым способом ориентации магнитного поля. Самый простой способ - всегда назначать «U Vector» в направлении поля, а «V Vector» с нулевой амплитудой перпендикулярно ему (амплитуда поля будет задана полностью по «U Vector»). Например, можно указать «U-амплитуду» в 1e6 A/m, а «V-амплитуда» останется равной нулю. В ниспадающем списке «U Vector» выберите «New Vector...» для графического определения вектора на выбранной грани параллельного полю (выбор двух точек, определяющих направление вектора).  «U magnitude» может быть определена как переменная Maxwell, что позволит изменять возбуждение в параметрическом расчёте - более подробное обсуждение переменных будет ниже.

Граничное условие Tangential H Field

При выборе точек на гранях, помните, что привязка треугольник появляется при наведении курсора на середину ребра, а квадрат при наведении на вершину (угол). Можно использовать любую комбинацию точек, если вектор лежит на нужной грани и указывает на направление приложенного поля. Направление «V Vector» не важно, так как «V magnitude» равна нулю по определению. При сочетании величины поля и указанного направления вектора внешнее поле правильно определено на лице. Правильным заданием этого ГУ считается указание амплитуды внешнего поля и его направления на параллельной грани.

Задание направления внешнему полю

Для остальных трех граней куба необходимо повторить задание границ Tangential H Field. Каждая граница определяется той же «U magnitude» и нулевой «V magnitude». Вектор системы координат определяется так, что каждый «U vector» на каждой новой грани параллелен и направлен в сторону приложенного поля. Направление «V Vector» для любой системы координат не имеет значения, поскольку величина поля в этом направлении равна нулю.

Задание координатных систем на оставшиеся грани

Ниже показано как должна выглядеть вкладка Boundary Conditions, когда все необходимые граничные условия назначены на грани куба, в этом случае имена ГУ оставлены по умолчанию. Четыре отдельных граничных условий возбуждения Tangential H Field определяют величину поля и его направление относительно сторон домена. Граничное условие Zero Tangential H Field назначается на переднюю и заднюю грани куба, определяет нормаль поля (это может быть выполнено в рамках одного назначения, содержащего обе поверхности, или двумя отдельными определениями границ для каждой грани).

Дерево проекта с назначенными граничными условиями

Одним из ключевых аспектов возбуждения, который правильно определяет однородное магнитное поле, является использование граничных условий Tangential H Field и Zero Tangential H Field, которые позволяют магнитному потоку входить и выходить из домена, тогда как граничные условия по умолчанию заставляют магнитный поток оставаться в нем. Другим ключевым аспектом этого возбуждения является задание направления поля от источника потока к его стоку (в направлении от одной границы Zero Tangential H к другой) вместо того, чтобы использовать возбуждение с циркулирующим потоком к сторонам границы. Для циркуляционного потока потребуется правильно масштабированный источник тока, проходящий через домен для поддержки заданного уровня потока на границах.

Ранее была назначена «U-амплитуда» в 1e6 A/m, которое в вакууме дает плотность магнитного потока (B-поле) 1.2566 T (0.4*π), причем не зависящую от размеров геометрического домена. Если амплитуда задаётся переменной, то нет смысла определять единицы значения, по умолчанию назначаются [A / м]. Обратите внимание, что выражение для назначаемой величины поля в 3D не может быть функцией положения (только в 2D при использовании границ векторного потенциала).

Maxwell 2D XY

В Maxwell 2DXY то же внешнее поле может быть создано с использованием двух граничных условий Vector Potential. В руководстве Maxwell есть очень хорошие технические замечания о 2D Vector Potential - пожалуйста, используйте эту информацию. Это назначение зависит от масштабов геометрического домена, поэтому мы будем исходить из 3D-примера с размерами кубической области с длиной сторон 20 мм.

В 2D выбирается постановки задачи 2DXY и тип решения магнитостатика (опять же, моделирование в Eddy Current почти одинаково для однородного поля и немного сложнее для неоднородных полей). Домен представляет собой квадрат с длиной сторон 20 мм, и мы снова зададим направление поля, указывающее на положительное Y-направление. На сторону отрицательной X-стороны назначается векторный потенциал со значением в виде выражения «1e6*u0*0.02» weber/m. На противоположную сторону, положительную X-сторону, назначим векторный потенциал со значением 0 weber/m. Мы оставляем стороны +/- Y не назначенными, что позволяет векторному потенциалу «естественно» изменяться между двумя назначенными сторонами.

Назначение граничного условия Vector Potential на противоположные стороны расчётной области

Напряженность поля 1e6 A/m соответствует значению, которое мы использовали в 3D примере, а «uO» представляет собой магнитную проницаемость вакуума (μ), которая нужна для перехода от единиц A/m в Tesla (webers/m2). Число 0,02- это расстояние (в метрах) между двумя назначениями векторного потенциала и, следовательно, для данной величины H-поля - это определение векторного потенциала является функцией геометрического масштаба границ. Результаты показывают, что линии магнитного потока движутся в направлении Y и линейно масштабируются вдоль направления X. B-поле имеет постоянное значение в положительном Y-направлении и точно соответствует 3D-случаю.

Линии магнитного потока и однородное магнитное поле B

В решателе EddyCurrent в 2DXY возможно назначить одну положительную и одну отрицательную границы потенциала с половиной от общей величины на противоположных сторонах домена моделирования. Такое назначение оказывает различное влияние на индуцированные токи, поскольку оно создает меньшее общее изменение векторного потенциала в электрическом цикле.

Граница векторного потенциала может быть функцией положения (X, Y, Phi и R - все допустимые переменные в этом контексте, где Phi и R относятся к цилиндрическим координатам}. Помните, что все эти переменные относятся к глобальной системе координат.

Maxwell 2D RZ

В 2DRZ используется та же концепция, как и в 2DXY, но уравнения немного отличаются. Существует также техническая заметка о 2D Vector Potential границе в помощи Максвелла. В моделях 2DRZ векторный потенциал представляет собой величину r*Aphi. Векторный потенциал в точке в постановке 2DRZ может быть непосредственно связан с полным потоком, заключенным в петле, описываемой этой точкой вокруг оси Z. Если мы имеем однородное поле (B₀ = μ₀*H₀) вдоль Z-оси, определенной от R = 0 до R = R0, то полный поток, заключенный в радиус R₀, будет B₀*π*R₀² = A₀*2π*R₀ или другим способом, R₀*A₀ = 0,5*B₀*R₀² (предполагаем, что A = 0 на оси Z).

В этом примере мы рассмотрим кольцевую область от R1 = 10 мм до R2 = 20 мм и с постоянным полем в Z-направлении H₀ = 1e6 A/m (B₀ = 1,2566T). Для этого требуется отдельные границы на внутреннем и внешнем краях (ID и OD) области. Внутренняя граница будет охватывать полный поток, равный B₀*π*R₁², что означает, что мы будем определять внутренний векторный потенциал как 0.5*1e6*u₀*0.01^2, где 1e6 относится к полю H₀, u₀ магнитная проницаемость вакуума (μ₀), а 0,01 относится к внутреннему радиусу 10 мм, выраженному в метрах. Аналогично, внешняя граница будет охватывать полный поток, равный B₀*π*R₂², и поэтому мы будем определять границу внешнего векторного потенциала как 0,5*1e6*u₀*0,02^2, где 0,02 относится к внешнему радиусу 20 мм выраженному в метрах. Назначения возбуждения будут выглядеть следующим образом:

Назначение граничного условия Vector Potential на границы расчётной области в M2DRZ.

В результате мы имеем векторный потенциал (r*Aphi), когда вертикальные линии потока изменяются радиально. Плотность потока почти 1,2566T, а напряженность поля 1e6A/m.

Однородное магнитное поле, заданное ГУ Vector Potential

В 2DRZ граница векторного потенциала может быть функцией положения (Z и R (или эквивалентно X) - все допустимые переменные в этом контексте}. Все переменные относятся к глобальной системе координат.

Создание однородного магнитного поля катушками Гельмгольца

Третий способ создания однородного магнитного поля заключается в использовании катушек в определенной конфигурации, таких как катушка Гельмгольца или длинный соленоид. Метод создания поля катушками Гельмгольца рассматривается как сравнение и проверка применяемых до сих пор методов граничных условий. Подробное описание можно найти в статье Википедии на тему катушки Гельмгольца. В этом примере мы попытаемся создать однородное поле в расчётной области в виде куба, как и в предыдущих примерах, со стороной 20мм. Для этого создаётся пара катушек с радиусом и расстоянием между ними в 50мм. Необходимо расширить расчётную область до 1000мм с каждой стороны. На изображении видно, что катушки центрированы относительно 20мм области почти постоянного поля, ориентированные вдоль оси Y, так что поле также ориентировано в правильном направлении.

Катушки Гельмгольца для создания однородного поля в кубическом домене.

Используя формулы Википедии, мы находим эквивалентное возбуждение катушек, необходимое для создания однородного поля между ними 1e6 A/m (1.2566 T): 1e6 *0.05*(5/4) ^3/2 = 69877 ампер-витков. 0,05 - радиус катушек и расстояние между ними в метрах. На векторном графике мы видим, что поле в значительной степени однородно и ориентировано в направлении оси Y. В центральной 20мм кубической области поле изменяется 1,2529-1,2570T.

Однородное поле, созданное катушками Гельмгольца

Построение амплитуды магнитной индукции в точках, лежащих вдоль оси через весь домен, позволяет сравнить результаты моделирования с аналитическими результатами. График ниже слева построен в логарифмической шкале для величины поля и отображает поведение поля вдоль всей оси. В центральной области есть хорошее совпадение, но результаты моделирования отклоняются вблизи границ расчётной области (хотя это логарифмический формат и такими незначительными расхождениями можно пренебречь). На приведенном ниже справа рисунке результаты сравниваются по шкале линейных величин только в центральной области. В частности, интересующая 20мм кубическая область занимает лишь половину оси X и поле значительно меньше изменяется по оси Y.

Сравнение аналитического расчёта и моделирования

Заключение о создании однородного магнитного поля

Мы рассмотрели 3 варианта моделирования в 2D и 3D для создания однородных внешних магнитных полей, которые требуют трех различных методов назначения поля. Результаты во всех случаях хорошо согласуются, но при использовании соответствующих настроек. Можно отметить, что размерность задачи значительно снижается при использовании граничных условий, 20мм кубическая область вместо 1-метровой. Существуют и другие методы для создания однородных полей, которые используют комбинацию катушек и граничных условий, например, осевой соленоид с граничными условиями симметрии на крайних витках.

В 2D или 3D мы можем разместить объекты внутри домена с внешним однородным магнитным полем для исследования их взаимодействия. Объекты должны быть достаточного малого размера по отношению к размеру домена, чтобы их индуцированные поля не взаимодействовали с граничными условиями. Нет общего правила для необходимого объема пространства между объектами и границами, потому что индуцированные поля сильно зависят от свойств материалов, но обычно индуцированные поля реагируют как диполь, ориентированный в основном параллельно направлению внешнего поля, а магнитные дипольные поля затухают как 1/R³ (в 2D поля являются линейным диполем, который уменьшается значительно медленнее 1/R).

Чтобы повернуть ориентацию объектов/полей, возможно либо зафиксировать поле неподвижным и вращать объект, либо держать объект неподвижным и вращать поле. Оба метода эквивалентны и позволяют исследовать взаимодействие под разными углами внешнего поля, в которой размещен объект. Назначение вращения может быть выполнено с помощью переменной, все остальные необходимые данные будут вычислены автоматически в зависимости от угла падения поля.

Возможны и более сложные внешние магнитные поля. Следует придерживаться всех перечисленных рекомендаций, и при задании граничных условий не нарушать Закон Ампера или закон нулевой дивергенции.